高等代数研究生考试大纲
一、考试要求
1、掌握基本的代数运算方法,包括:行列式的计算,矩阵运算(乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量),线性方程组解的判定及求解,多项式运算(带余除法,辗转相除法,综合除法)等、
2、掌握基本的代数分析技巧,包括:向量的线性相关和线性无关性,向量空间的基与维数,线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系,方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型,一元多项式的整除性及因式分解、
3、掌握代数的基本几何背景,理解代数与几何的关系,包括:欧氏空间和酉空间,正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程、
二、高等代数研究生考试内容
第一部分 多项式
1、一元多项式的定义和基本运算;
2、多项式的带余除法与综合除法,多项式整除性的常用性质;
3、多项式的最大公因式概念及性质,辗转相除法;
4、不可约多项式的概念及性质,多项式的唯一因式分解定理,多项式的重因式;
5、多项式函数与多项式的根的概念及性质;
6、代数基本定理,复数域和实数域上多项式的因式分解定理,Vieta定理;
7、整系数多项式的有理根,Eisenstein判别法;
8、多元多项式概念及字典排列法,对称多项式、
第二部分 行列式
1、线性方程组和行列式的关系,排列、n阶行列式及其子式和代数余子式;
2、行列式的性质及行列式的基本计算方法;
3、克拉默法则、
第三部分 线性方程组
1、线性方程组求解的消元法;
2、矩阵的秩的概念,用矩阵的初等变换求秩;
3、线性方程组可解的判别法;
4、两个多项式的结式和多项式的判别式、
第四部分 矩阵
1、矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则;
2、逆矩阵概念,矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质,求可逆矩阵的逆矩阵的方法;
3、矩阵的分块法,分块矩阵的运算法则、
第五部分 向量空间
1、向量空间及子空间的定义;
2、向量组线性相关、线性无关的定义,向量组线性相关性的判定条件和性质,向量组的极大无关组;
3、向量空间的基与维数,过渡矩阵及坐标变换式;
4、向量空间的同构及其性质;
5、齐次线性方程组的解空间与基础解系;线性方程组的结构式通解、
第六部分 线性变换
1、向量空间线性映射概念及其相关性质;
2、线性变换的运算和矩阵的相似关系;
3、不变子空间及其性质;
4、方阵的特征值和特征向量;
5、可以对角化的矩阵、
第七部分 欧氏空间和酉空间
1、向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt正交化方法;
2、正交变换与正交矩阵的定义和性质;
3、对称变换与实对称矩阵,实对称矩阵的正交相似对角化;
4、酉空间的定义及其基本性质,酉变换和酉矩阵、
第八部分 二次型
1、二次型与对称矩阵,矩阵的合同关系;
2、复数域和实数域上的二次型,用正交变换化实二次型为标准形的方法;
3、正定二次型与正定矩阵,实对称矩阵正定的判定条件和性质;
4、主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程、
参考书目
1、张禾瑞,郝鈵新《高等代数》(第四版)高等教育出版社;
2、北京大学数学系《高等代数》(第三版)高等教育出版社;
3、丘维声《高等代数》(第二版) 高等教育出版社。在职研究生